Forover eller sentral differanse?

Anslå f ′(1) for f(x) = x³ med Δx = 0,1

def f(x):
    return x**3

a = 1
dx = 0.1

stigning = (f(a + dx) - f(a)) / dx
print("Forover-differanse:", stigning)
print("Eksakt verdi:      ", 3 * a**2)

Forover-differanse: 3.310000000000004
Eksakt verdi:       3

Legg merke til: Svaret er 3,31, ikke 3 – feilen 0,31 kommer av at sekanten bare ser til høyre. At Python skriver 3.310000000000004 og ikke 3.31, skyldes at datamaskinen lagrer tall i totallsystemet, der 0,1 ikke kan skrives eksakt.

Samme funksjon og samme Δx, men med et punkt på hver side

def f(x):
    return x**3

a = 1
dx = 0.1

stigning = (f(a + dx) - f(a - dx)) / (2 * dx)
print("Sentral differanse:", stigning)
print("Eksakt verdi:      ", 3 * a**2)

Sentral differanse: 3.0100000000000016
Eksakt verdi:       3

Legg merke til: Bare én linje er endret, men feilen er 0,01 i stedet for 0,31 – tretti ganger mindre, med like mye regnearbeid.

Funksjoner og en løkke sammenligner de to metodene

Nå er metodene skrevet som funksjoner, slik at vi kan bruke dem om og om igjen. Løkka gjør Δx ti ganger mindre for hver runde – akkurat som grenseverdien i definisjonen.

def f(x):
    return x**3

def forover(f, a, dx):
    return (f(a + dx) - f(a)) / dx

def sentral(f, a, dx):
    return (f(a + dx) - f(a - dx)) / (2 * dx)

a = 1
eksakt = 3 * a**2          # f'(x) = 3x², så f'(1) = 3

print("     dx     forover-feil   sentral-feil")
for k in range(1, 6):
    dx = 10**(-k)          # 0.1, 0.01, 0.001, ...
    feil_f = abs(forover(f, a, dx) - eksakt)
    feil_s = abs(sentral(f, a, dx) - eksakt)
    print(f"{dx:8.0e}   {feil_f:12.2e}   {feil_s:12.2e}")

     dx     forover-feil   sentral-feil
   1e-01       3.10e-01       1.00e-02
   1e-02       3.01e-02       1.00e-04
   1e-03       3.00e-03       1.00e-06
   1e-04       3.00e-04       1.00e-08
   1e-05       3.00e-05       9.74e-11

Legg merke til: Forover-feilen blir ti ganger mindre for hver runde, sentral-feilen hundre ganger mindre. Det er det samme som den logaritmiske grafen over viser.

Hva skjer når Δx blir veldig liten?

from math import exp

def sentral(f, a, dx):
    return (f(a + dx) - f(a - dx)) / (2 * dx)

# f(x) = e^x har f'(0) = 1. Hvor nær kommer vi?
print("     dx       feil")
for k in range(1, 16, 2):
    dx = 10**(-k)
    feil = abs(sentral(exp, 0, dx) - 1)
    print(f"{dx:8.0e}   {feil:.1e}")

     dx       feil
   1e-01   1.7e-03
   1e-03   1.7e-07
   1e-05   1.2e-11
   1e-07   5.3e-10
   1e-09   2.7e-08
   1e-11   8.3e-08
   1e-13   2.4e-04
   1e-15   5.5e-02

Legg merke til: Feilen er minst rundt Δx = 10⁻⁵ og blir så større igjen. Datamaskinen regner med omtrent 16 gjeldende sifre. Når f(a + Δx) og f(a − Δx) er nesten like, forsvinner de fleste sifrene når vi trekker dem fra hverandre – og så deler vi på et bitte lite tall. I matematikken går Δx mot 0. På en datamaskin må vi stoppe i tide.

Fart fra GPS-målinger, uten noen formel

Ofte har vi ikke en funksjon, bare målinger. Da er sentral differanse ekstra nyttig: Vi bruker målingen før og målingen etter hvert punkt.

# GPS-målinger fra en sprintstart
t = [0, 1, 2, 3, 4, 5]                 # tid i sekunder
s = [0, 2.1, 7.9, 17.8, 31.5, 49.2]    # posisjon i meter

# Sentral differanse i alle punkter som har et nabopunkt på hver side
for i in range(1, len(t) - 1):
    v = (s[i + 1] - s[i - 1]) / (t[i + 1] - t[i - 1])
    print(f"t = {t[i]} s:  v ≈ {v:.2f} m/s")

t = 1 s:  v ≈ 3.95 m/s
t = 2 s:  v ≈ 7.85 m/s
t = 3 s:  v ≈ 11.80 m/s
t = 4 s:  v ≈ 15.70 m/s

Legg merke til: Farten øker med omtrent 4 m/s hvert sekund, så akselerasjonen er omtrent 4 m/s². Første og siste punkt mangler en nabo på én side – der må vi bruke forover- eller bakover-differanse. (Sammenlign med 2.9 Fart og akselerasjon.)